Sisteme de ecuații algebrice liniare. Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare

Înapoi în școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și,cu siguranță, sistemul de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe modalități de a le rezolva. Astăzi vom discuta în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare care constau din mai mult de două egalități.

poveste

Până în prezent, se știe că artsă rezolve ecuațiile și sistemele lor provenind din vechiul Babilon și din Egipt. Cu toate acestea, egalitatea în forma obișnuită pentru noi a apărut după apariția semnului egalității "=", introdus în 1556 de către matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Într-adevăr, cel mai bun exemplu de egalitate nu poate fi imaginat.

Fondatorul alfabetic moderneNotatia de necunoscuti si semne de grade este matematicianul francez François Viet. Cu toate acestea, desemnările sale au fost semnificativ diferite de ziua de azi. De exemplu, pătratul unui număr necunoscut a fost notat cu litera Q (latină "quadratus"), iar cubul cu litera C (latină "cubus"). Aceste denumiri par acum incomode, dar atunci a fost cel mai ușor de înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.

Cu toate acestea, dezavantajul de atunci metode de soluționarea fost că matematicienii au considerat doar rădăcini pozitive. Poate că acest lucru se datorează faptului că valorile negative nu au avut o aplicație practică. Oricum, matematicienii italieni Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano și Rafael Bombelli în secolul al XVI-lea au fost primii care au luat în considerare rădăcinile negative. O formă modernă, principala metodă de rezolvare a ecuațiilor patratice (prin discriminare) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrărilor lui Descartes și Newton.

La mijlocul secolului al XVIII-lea matematicianul elvețian GabrielKramer a găsit un nou mod de a facilita rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Această metodă a fost ulterior numită după el și până astăzi o folosim. Dar vom vorbi puțin despre metoda lui Cramer mai târziu, dar pentru moment vom discuta despre ecuații liniare și metode pentru a le rezolva separat de sistem.

Ecuații liniare

Ecuațiile liniare sunt cele mai simple ecuații cu o variabilă (e). Ele sunt clasificate ca algebrice. Ecuațiile liniare sunt scrise în forma generală după cum urmează: a₁* x₁+ a_{2 *}x₂+ ... a_n* x_n= b. Reprezentarea acestora in aceasta forma este necesara in continuare pentru compilarea sistemelor si matricelor.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Definiția acestui termen este: Acesta este un set de ecuații care au cantități comune necunoscute și o soluție comună. De regulă, în școală, totul a fost rezolvat de sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne uităm la prima, cum să le scriem, pentru ca în viitor să fie convenabil să rezolve. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, este necesar să se aducă toate ecuațiile în forma canonică: a₁* x₁+ a_{2 *}x₂+ ... a_n* x_n= b.

După toate aceste acțiuni, putem începe să spunem cum să găsim o soluție la sistemele de ecuații liniare. Foarte mult pentru asta avem nevoie de matrice.

matrice

O matrice este o tabelă care constă din șiruri de caractere șicoloane, iar la intersecția lor sunt elementele sale. Acestea pot fi valori sau variabile specifice. De cele mai multe ori, pentru a desemna elementele, ele sunt plasate sub indiciile (de exemplu, a₁₁ sau a₂₃). Primul indice este numărul rândului, iar al doilea este coloana. Pe matrici, precum și pe orice alt element matematic, este posibil să se efectueze diverse operații. Astfel, puteți:

1) Extrageți și adăugați tabele de aceeași mărime.

2) Înmulțiți matricea cu un număr sau cu un vector.

3) Transpune: transformarea liniilor matricei în coloane, iar coloanele - în linie.

4) Înmulțiți matricile dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeilalte.

Vom discuta toate aceste tehnici mai detaliat, deoarece acesteava fi utilă în viitor. Extragerea și adăugarea matricelor este foarte simplă. Din moment ce luăm matrici de aceeași mărime, fiecare element al unei mese se corelează cu fiecare element al celeilalte. Astfel, adăugăm (scădea) aceste două elemente (este important să stea în aceleași locuri în matricele lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau cu un vector, pur și simplu înmulțiți fiecare element al matricei cu acel număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. Este foarte interesant, uneori, să îl vezi în viața reală, de exemplu, atunci când schimbi orientarea unui tabletă sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop sunt o matrice, iar atunci când poziția se schimbă, este transpusă și devine mai largă, dar scade înălțime.

Vom analiza procesul de multiplicare a matricelor. Deși nu vine la îndemână, va fi totuși util să-l cunoașteți. Multiplicați două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri al celeilalte. Acum luăm elementele rândului unei matrice și ale elementelor coloanei corespunzătoare a celuilalt. Îi înmulțim unul pe altul și apoi le adăugăm (adică, produsul elementelor a₁₁ și a₁₂ la b₁₂ și b₂₂ va fi: a₁₁* b₁₂ + a₁₂* b₂₂). Astfel, primim un element al mesei și este completat în același mod.

Acum putem începe să analizăm cum se rezolvă sistemul de ecuații liniare.

Metoda Gauss

Acest subiect începe să aibă loc la școală. Știm bine conceptul de "sistem de două ecuații liniare" și le putem rezolva. Dar dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Metoda Gauss ne va ajuta în acest sens.

Desigur, este convenabil să folosim această metodă dacă facem o matrice din sistem. Dar nu o poți transforma și rezolva în forma sa pură.

Deci, cum poate fi rezolvat acest sistem printr-un sistem liniarGaussian ecuații? Apropo, deși această metodă este numită după el, dar a fost descoperită în cele mai vechi timpuri. Gauss sugerează următoarele: să efectueze operații cu ecuații, pentru a conduce în cele din urmă întregul agregat la o formă asemănătoare pasului. Adică, este necesar ca din partea de sus în jos (dacă este aranjată corespunzător) de la prima ecuație la cea de-a treia să scadă cu un necunoscut. Cu alte cuvinte, trebuie să ne asigurăm că avem, să zicem, trei ecuații: primul - trei necunoscute, în al doilea - două în al treilea - unul. Apoi, din ultima ecuație, găsim prima necunoscut, substituie valoarea sa în cea de a doua sau prima ecuație, și pentru a găsi în continuare cele două variabile rămase.

Metoda lui Cramer

Pentru a stăpâni această metodă, este vitalPosedă abilitățile adunării, scăderii matricelor și, de asemenea, este necesar să se poată găsi factori determinanți. Prin urmare, dacă o faceți rău sau nu știți cum, va trebui să învățați și să practici.

Care este esența acestei metode și cum să o facem așaSistemul de ecuații liniare Cramer a fost obținut? Este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice de coeficienți numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, luați numerele în fața celor necunoscute și plasați-le în masă în ordinea în care sunt scrise în sistem. Dacă există un semn "-" în fața numărului, scrieți un coeficient negativ. Deci, am făcut prima matrice a coeficienților de necunoscutele, fără a include numărul după semnul egal (desigur, că ecuația trebuie să fie redus la forma canonică, atunci când dreptul este doar un număr, iar stânga - toate necunoscutele cu coeficienți). Apoi trebuie să creăm mai multe matrici, câte una pentru fiecare variabilă. Pentru aceasta, înlocuiți fiecare coloană din prima matrice cu coloana cu numărul coloanei după semnul egal. Astfel obținem mai multe matrici și apoi găsim determinanții lor.

După ce am găsit determinanții, cazul pentrumici. Avem o matrice inițială și există mai multe matrici derivate care corespund diferitelor variabile. Pentru a obține soluțiile de sistem, împărțim determinantul tabelului obținut în determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.

Alte metode

Există mai multe metode pentrupentru a obține o soluție de sisteme de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este utilizată pentru a găsi soluții la un sistem de ecuații patratice, este de asemenea legată de utilizarea matricelor. Există, de asemenea, metoda Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai adaptabil pentru un computer și este folosit în tehnologia informatică.

Cazuri complexe

Complexitatea apare de obicei în cazul numărului de ecuațiimai puțin decât numărul de variabile. Apoi putem spune cu certitudine că fie sistemul este incompatibil (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să notăm soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Acesta va conține cel puțin o variabilă.

concluzie

Așa că am ajuns până la capăt. Pentru a rezuma: trebuie să înțelegem ce matricea de sistem, a învățat să găsească soluția generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, am considerat alte opțiuni. Ne-am dat seama cum să rezolve sisteme de ecuații liniare: eliminarea Gauss și regula lui Cramer. Am vorbit despre cazuri complicate și alte modalități de găsire a soluțiilor.

De fapt, acest subiect este mult mai amplu, iar dacă doriți să îl înțelegeți mai bine, vă recomandăm să citiți o literatură mai specializată.